UNIDAD IV (Conceptos básicos de Acústica Musical) Segunda Clase

2. Las notas musicales, los intervalos y los armónicos.

La expresión acústica de un sonido musical se hace por medio de un número entero o fraccionario que representa la frecuencia de dicho número. En el gráfico Representación del Do₀ hasta el Do₁₀, se puede observar la representación de la nota Do en el pentagrama, iniciando desde el Do₀ hasta llegar al Do₁₀, con sus respectivas frecuencias.

El órgano es el instrumento que abarca el mayor número de notas musicales cuyas frecuencias son perfectamente audibles. El rango del órgano comprende desde el Do₀ hasta el Sol₉, el cual se observa en el gráfico Extensión del órgano de tubos.

Los intervalos musicales también se pueden representar acústicamente por medio del cociente de las frecuencias de los dos sonidos que lo forman. por ejemplo, entre los sonidos f₁ y f₂ del gráfico Intervalo de 5° J ascendente se forma un intervalo representado por la fracción f₂ / f₁. Entonces, el intervalo entre los dos sonidos es: 523,26 Hz / 349,23 Hz = 1,5 que es la representación de una quinta justa ascendente.

Intervalo de 5° J ascendente

Los intervalos pueden ser ascendentes o descendentes. Acústicamente, el intervalo es ascendente cuando el numerador es mayor que el denominador, y descendente, cuando el numerador es menor.

Por ejemplo, entre las dos notas anteriores, fa₄ y do₅, puede haber un intervalo descendente. Entonces la fracción resultante sería f₂ / f₁, lo cual daría como resultado 349,23 Hz / 523,26 Hz. Ver el ejemplo en el gráfico Intervalo de 5° J descendente.

Intervalo de 5° J descendente

Los acordes también se pueden representar acústicamente. Por ejemplo, si se tiene un acorde ascendente formado por las frecuencias f₁, f₂, f₃ y f₄, su representación acústica será: f₄ : f₃ : f₂ : f₁. El siguiente gráfico muestra el acorde ascendente de Do mayor.

Este acorde Perfecto Mayor se puede representar por los respectivos números correspondientes a los armónicos generados por una nota fundamental. Por ejemplo, si tomamos las frecuencias del acorde de do mayor, nos da la siguiente relación:

523,25 : 392 : 329,62 : 261,63

Si dividimos estas frecuencias por un mismo múltiplo, que en este caso es 65,4064 nos da como resultado cada uno de los armónicos correspondientes al acorde Perfecto Mayor, la cual es:

8 : 6 : 5 : 4

Si aplicamos la fórmula de los armónicos de una nota fundamental, tomando el Do₂ como f₁, tenemos:

f₄ = 4f₁ = 4 x 65,4064 = 261,63 (es decir, Do₄)

f₅ = 5f₁ = 5 x 65,4064 = 327,032 (es decir, Mi₄)

f₆ = 6f₁ = 6 x 65,4064 = 392,4384 (es decir, Sol₄)

f₈ = 8f₁ = 8 x 65,4064 = 523,2512 (es decir, Do₅)

Existen varios métodos matemáticos para construir la escala diatónica, pero para este estudio solo vamos a tomar la escala del filósofo y músico griego Aristógenes (nacido en el año 350 antes de Cristo) o del músico y teórico Gioseffo Zarlino (1517 - 1590), denominada Escala Aristógenes - Zarlino.

Los intervalos que se forman en la escala diatónica con respecto a la Tónica son:

Tónica - Supertónica	9/8
Tónica - Mediante	5/4
Tónica - Subdominante	4/3
Tónica - Dominante	3/2
Tónica - Superdominante	5/3
Tónica - Sensible	15/8
Tónica - Octava	2/1

Los intervalos que se forman en la escala diatónica de Do mayor entre dos notas consecutivas son:

Do - Re	9/8 = 1,125 (Tono Grande)
Re - Mi	10/9 = 1,111 (Tono Pequeño)
Mi - Fa	16/15
Fa - Sol	9/8 = 1,125 (Tono Grande)
Sol - La	10/9 = 1,111 (Tono Pequeño)
La - Si	9/8 = 1,125 (Tono Grande)
Si - Do	16/15

Finalmente, es importante tener en cuenta que en la acústica y en la música, los sonidos armónicos de uno fundamental son los que determinan, en última instancia, la armonía o relación de los acordes. La Escala de los Armónicos o Escala de la Resonancia Superior está formada por "la gama de sonidos que acompañan a un sonido fundamental, de tal forma que dichos sonidos están relacionados con el fundamental por un número entero de veces la frecuencia de éste"[12].

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[12] CALVO-MANZA, Antonio. Acústica físico-musical. Madrid : Real Musical, 1991. P. 183.

La octava justa está dividida en 12 semitonos temperados (iguales) el cual se define matemáticamente por la raíz doceava de 2. La fórmula general para encontrar el número de semitonos entre dos notas se expresa así:

n = 12 x (Log b - Log a) / Log 2

en donde n = al número de semitonos que existe entre las dos notas que conforman el intervalo; a es la segunda nota del intervalo y b es la primera nota; 12 es una constante que se deriva de la raíz doceava.

Aplicando esta fórmula a las 16 primeras notas de la Escala de los Armónicos, obtenemos los siguientes resultados:

Intervalo 2/1; n = 12 x (Log 2 - Log 1) / Log 2 = 12 semitonos.

Intervalo 3/2; n = 12 x (Log 3 - Log 2) / Log 2 = 7,02 semitonos.

Intervalo 4/3; n = 12 x (Log 4 - Log 3) / Log 2 = 4,98 semitonos.

Intervalo 5/4; n = 12 x (Log 5 - Log 4) / Log 2 = 3,86 semitonos.

Intervalo 6/5; n = 12 x (Log 6 - Log 5) / Log 2 = 3,16 semitonos.

Intervalo 7/6; n = 12 x (Log 7 - Log 6) / Log 2 = 2,67 semitonos.

Intervalo 8/7; n = 12 x (Log 8 - Log 7) / Log 2 = 2,31 semitonos.

Intervalo 9/8; n = 12 x (Log 9 - Log 8) / Log 2 = 2,04 semitonos.

Intervalo 10/9; n = 12 x (Log 10 - Log 9) / Log 2 = 1,82 semitonos.

Intervalo 11/10; n = 12 x (Log 11 - Log 10) / Log 2 = 1,65 semitonos.

Intervalo 12/11; n = 12 x (Log 12 - Log 11) / Log 2 = 1,51 semitonos.

Intervalo 13/12; n = 12 x (Log 13 - Log 12) / Log 2 = 1,39 semitonos.

Intervalo 14/13; n = 12 x (Log 14 - Log 13) / Log 2 = 1,28 semitonos.

Intervalo 15/14; n = 12 x (Log 15 - Log 14) / Log 2 = 1,19 semitonos.

Intervalo 16/15; n = 12 x (Log 16 - Log 15) / Log 2 = 1,12 semitonos.

En el gráfico Armónicos de la nota Do, se muestran los 16 primeros armónicos correspondientes al Do₂.

En resumen, los 16 primeros armónicos de una nota fundamental y los intervalos que se forman entre las notas de manera consecutiva son:

f1	Tónica
f2	Tónica (Octava Justa)
f3	Dominante (Quinta Justa)
f4	Tónica (Cuarta Justa)
f5	Mediante (Tercera Mayor)
f6	Dominante (Tercera Menor)
f7	Séptimo bemol (Tercera Menor)
f8	Tónica (Segunda Mayor)
f9	Supertónica (Segunda Mayor)
f10	Mediante (Segunda Mayor)
f11	Cuarto sostenido (Segunda Mayor)
f12	Dominante (Segunda Menor)
f13	Sexto bemol (Segunda Menor)
f14	Séptimo bemol (Segunda Mayor)
f15	Sensible (Segunda Menor)
f16	Tónica (Segunda Menor)

3. Bandas de Octava.

Debido a que la Banda de Audiofrecuencias es tan amplia, se emplea la clasificación de Bandas de Octava para determinar la altura de los sonidos (notas) musicales con mayor precisión.

La Banda de Octava se define como "la gama de sonidos comprendidos entre uno cualquiera y otro situado a su octava"[13], es decir que es la relación entre dos sonidos que forman el intervalo de octava (2/1).

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[13] Ibid., p. 89.

Matemáticamente, las Bandas de Octava se basan en las potencias de 2, es decir 2ⁿ. Debido a que el mínimo de la frecuencia audible es aproximadamente 16 Hz, el límite inferior de n = 4 y el límite superior de n = 14. De esta manera, los inicios de cada octava son:

24 = 16 Hz 25 = 32 Hz 26 = 64 Hz 27 = 128 Hz 28 = 256 Hz 29 = 512 Hz

210 = 1024 Hz 211 = 2048 Hz 212 = 4096 Hz 213 = 8192 Hz 214 = 16384 Hz

El criterio acústico se basa en tomar la frecuencia de 1000 Hz como patrón de las frecuencias y multiplicarlas por 2ⁿ. De esta forma, el límite inferior de n = -6 y el superior es n = 4. De acuerdo con esto, las octavas básicas son:

1000 x 2-6 = 15,625 1000 x 2-5 = 31,250 1000 x 2-4 = 62,50 1000 x 2-3 = 125 1000 x 2-2 = 250 1000 x 2-1 = 500

1000 x 20 = 1000 1000 x 21 = 2000 1000 x 22 = 4000 1000 x 23 = 8000 1000 x 24 = 16000

Recuerde que a^-n = 1 / aⁿ.

Las Bandas de Tercios de Octava consisten en dividir la octava en tres partes iguales. Por tanto, el primer tercio es f - kf; el segundo es kf - k²f; y el tercero es k²f - k³f. De donde k³f es igual a 2f.

Entonces k es igual a la raíz cúbica de 2, que equivale a 1,259921.

Esto significa que la Banda de Tercios de Octava de una frecuencia f es la gama de sonidos correspondiente entre f y 1,259921f.

Las frecuencias normalizadas para Bandas de Tercios de Octava entre 10 Hz y 20000 Hz son:

De 10 Hz a 100 Hz	De 100 Hz a 1000 Hz	De 1000 Hz a 2000 Hz
10 Hz 12,5 Hz 16 Hz 20 Hz 25 Hz 31,5 Hz 40 Hz 50 Hz 63 Hz 80 Hz 100 Hz	100 Hz 125 Hz 160 Hz 200 Hz 250 Hz 315 Hz 400 Hz 500 Hz 630 Hz 800 Hz 1000 Hz	1000 Hz 1250 Hz 1600 Hz 2000 Hz 2500 Hz 3150 Hz 4000 Hz 5000 Hz 6300 Hz 8000 Hz 10000 Hz 12500 Hz 16000 Hz 20000 Hz

4. Intensidad.

Es la cualidad del sonido que expresa si un sonido es más fuerte o más débil que otro. La intensidad también se conoce con el nombre de sonoridad. La intensidad depende de la amplitud del movimiento vibratorio que lo origina.

5. Umbral de audición y su cima.

Es el valor mínimo de la intensidad de un sonido para empezar a ser escuchado por el oído, el cual presenta una característica particular que consiste en que esos niveles mínimos varían de acuerdo con la frecuencia. El punto mínimo del umbral es de 3000 Hz y va aumentando tanto para las frecuencias graves como para las agudas, tal como se aprecia en el gráfico Umbral y cima de las sensaciones sonoras[14].

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[14] Ibid., p. 103.

6. Potencia e Intensidad Acústicas.

La potencia acústica es la energía emitida por la fuente sonora y se mide en vatios (W). La intensidad acústica es "la energía que llega a un punto determinado"[15].

7. Belio y Decibelio.

El Bel o Belio, nombre dado en honor a Alexander Graham Bell, "es el logaritmo de la relación entre la magnitud de interés y la de referencia, pero no se utiliza por ser demasiado grande en la práctica, y por eso se utiliza el decibelio, la décima parte de un belio"[16].

El Decibel (dB) es "diez veces el logaritmo en base diez de la relación entre las potencias de dos señales"[17], cuya fórmula es: dB = 10 log₁₀ (P₁/P₂).

Para comparar dos voltajes se emplea:

dB = 10 log (V₁²/V₂²) es decir dB = (V₁/V₂)²

o sea que un dB = 20 log (V₁/V₂)

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[15] Ibid., p. 103.

[16] Decibelio. [Online]. Citado el 14 de octubre de 2009. Disponible en Internet: http://es.wikipedia.org/wiki/Decibelio>

[17] RUMSEY, Francis y Mccormick, Tim. Introducción al sonido y la grabación. Madrid : Raycar impresores, 1996. P. 31.

El gráfico Límites de audibilidad según la frecuencia y la intensidad acústica muestra dicha intensidad para las frecuencias entre 20 Hz y 20000 Hz y los límites de audibilidad.

Límites de audibilidad según la frecuencia y la intensidad acústica

El siguiente gráfico[18] muestra niveles de intensidad del sonido en diferentes fuentes sonoras.

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[18] Decibelio. [Online]. Citado el 14 de octubre de 2009. Disponible en Internet:http://es.wikipedia.org/wiki/Decibelio>

En general, la zona segura para el oído se encuentra entre los 0 dB hasta los 80 dB; la zona peligrosa está entre los 90 db y los 110; y la zona perjudicial oscila entre los 120 db y los 140 db.

En la siguiente tabla se muestran los diferentes niveles de intensidad de la voz humana.

Voz	Nivel de dB a 1 metro
Baja	55
Normal	60
Alta	67
Muy alta	76
Grito	90

8. Timbre.

Es la cualidad del sonido que permite diferenciar dos fuentes sonoras o más produciendo la misma nota. Como ya se ha dicho anteriormente, el timbre depende del número de armónicos producidos por el instrumento o cuerpo sonoro, pero además, en el timbre también interviene la intensidad y la distribución de la energía que exista entre los armónicos producidos.

Por ejemplo, si tocamos una misma nota en un piano y en un violín, podemos observar que estos dos sonidos "producen los mismos armónicos en frecuencias, pero la distribución de las intensidades es diferentes"[19].

En las siguientes gráficas se muestran los diferentes espectros de un sonido emitido por diversas fuentes sonoras, con las intensidades de sus armónicos .

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[19] CALVO-MANZA, Antonio. Acústica físico-musical. Madrid : Real Musical, 1991. P. 1823.

Espectro sonido puro a 440 Hz

Espectro sonido del violín a 440 Hz

Espectro sonido del clarinete a 440 Hz

Espectro sonido del sintetizador A a 440 Hz

Espectro sonido del sintetizador B a 440 Hz

Audición acerca de la diferencia del timbre: Unidad 3 del texto Auditory Perception de F. Alton Everest.

Práctica 1

PROCEDIMIENTO

1. Mediante algún software de reproducción de audio abrir los 18 archivos de audio que se encuentran en la carpeta “Sonidos”. Identificar para cada frecuencia los 3 archivos correspondientes según sus amplitudes, llenando el formato a continuación.

IDENTIFICACIÓN DE FRECUENCIAS Y AMPLITUDES

• Para la frecuencia de 125Hz los archivos ordenados de menor a mayor amplitud son:

• Para la frecuencia de 250Hz los archivos ordenados de menor a mayor amplitud son:

• Para la frecuencia de 500Hz los archivos ordenados de menor a mayor amplitud son:

• Para la frecuencia de 1000Hz los archivos ordenados de menor a mayor amplitud son:

• Para la frecuencia de 2000Hz los archivos ordenados de menor a mayor amplitud son:

• Para la frecuencia de 4000Hz los archivos ordenados de menor a mayor amplitud son:

2. Abrir la carpeta llamada “Amplitudes”. En cada carpeta encontrará 3 sonidos de igual frecuencia y diferente amplitud (volumen). Mediante un software de reproducción de audio escuche los 3 sonidos e identifique el orden de intensidades de menor a mayor llenando el siguiente formato:

IDENTIFICACIÓN DE AMPLITUDES

• El orden de intensidad de menor a mayor en la carpeta 1 es:

• El orden de intensidad de menor a mayor en la carpeta 2 es:

• El orden de intensidad de menor a mayor en la carpeta 3 es:

• El orden de intensidad de menor a mayor en la carpeta 4 es:

• El orden de intensidad de menor a mayor en la carpeta 5 es:

• El orden de intensidad de menor a mayor en la carpeta 6 es:

3. Abrir la carpeta llamada “Frecuencias”. En cada carpeta encontrará 3 sonidos de igual amplitud (volumen) y diferente frecuencia. Mediante un software de reproducción de audio escuche los 3 sonidos e identifique el orden de frecuencias de menor a mayor llenando el siguiente formato:

IDENTIFICACIÓN DE FRECUENCIAS

• El orden de frecuencia de menor a mayor en la carpeta 1 es:

• El orden de frecuencia de menor a mayor en la carpeta 2 es:

• El orden de frecuencia de menor a mayor en la carpeta 3 es:

• El orden de frecuencia de menor a mayor en la carpeta 4 es:

• El orden de frecuencia de menor a mayor en la carpeta 5 es:

• El orden de frecuencia de menor a mayor en la carpeta 6 es:

Práctica 2 elaborada por Beatriz Helena García Uribe

Estimación de las frecuencias. (Ver la Carpeta Practica2)

En la carpeta denominada FrecuenciasEnMP3, el estudiante encuentra 31 archivos que contienen las frecuencias correspondientes a las 10 octavas definidas de acuerdo con los estándares de la ISO; un archivo con todas las frecuencias en orden ascendente, otro con las diez octavas Ascendentes y Descendentes de las frecuencias centradas en términos de la ISO; otro con las Octavas Ascendentes y Descendentes de 400 Hz, y otro con las Octavas Ascendentes y Descendentes de 500 Hz.

A continuación se muestran las tablas respectivas de los archivos.

Frecuencias correspondientes a cada octava
Octava 1	20 Hz	25 Hz	31 Hz
Octava 2	40 Hz	50 Hz	63 Hz
Octava 3	80 Hz	100 Hz	125 Hz
Octava 4	160 Hz	200 Hz	250 Hz	315 Hz
Octava 5	400 Hz	500 Hz	630 Hz
Octava 6	800 Hz	1000 Hz	1250 Hz
Octava 7	1600 Hz	2000 Hz	2500 Hz
Octava 8	3150 Hz	4000 Hz	5000 Hz
Octava 9	6300 Hz	8000 Hz	10000 Hz
Octava 10	12500 Hz	16000 Hz	20000 Hz

Octavas Ascendentes y Descendentes de 400 Hz

a) 400 Hz

b) 800 Hz

c) 1600 Hz

d) 800 Hz

e) 400 Hz

f) 200 Hz

g) 100 Hz

h) 50 Hz

i) 25 Hz

j) 50 Hz

k) 100 Hz

l) 200 Hz

m) 400 Hz

Octavas Ascendentes y Descendentes de 500 Hz

a) 500

b) 1000

c) 2000

d) 4000

e) 8000

f) 16000

g) 8000

h) 4000

i) 2000

j) 1000

k) 500

l) 250

m) 125

n) 63

o) 31

p) 63

q) 125

r) 250

s) 500

10 Octavas Ascendentes y Descendentes de las frecuencias centradas en términos de la ISO

a) 31.25 Hz

b) 62.5 Hz

c) 125 Hz

d) 250 Hz

e) 500 Hz

f) 1 KHz

g) 2 KHz

h) 4 KHz

i) 8 KHz

j) 16 KHz

k) 8 KHz

l) 4 KHz

m) 2 KHz

n) 1 KHz

o) 500 Hz

p) 250 Hz

q) 125 Hz

r) 62.5 Hz

s) 31.25 Hz

Con esta información, y como parte del entrenamiento auditivo para realizar la práctica, el estudiante debe escuchar cada uno de los archivos mientras observa las respectivas tablas. Posteriormente, debe realizar la práctica que consiste en escuchar cada uno de los archivos de la carpeta FrecuenciasEnDesorden y escribir en el cuadro las respuestas correspondientes a las frecuencias escuchadas. Se recomienda tomar como referencia la frecuencia de 400 Hz o 500 Hz antes de iniciar el ejercicio.

Cuadro de respuestas para las Frecuencias en desorden.

1)	6)	11)	16)	21)
2)	7)	12)	17)	22)
3)	8)	13)	18)	23)
4)	9)	14)	19)	24)
5)	10)	15)	20)	25)