UNIDAD IV (Conceptos básicos de Acústica Musical) Primera Clase

1. Sonido

Definición: "el sonido se produce cuando un objeto (fuente sonora) vibra y origina un movimiento en el aire que lo rodea"[1].

Para obtener sonido se necesita que el cuerpo de material sólido, líquido o gaseoso que lo emite realice un movimiento vibratorio, como por ejemplo, los instrumentos musicales.

Además de ese cuerpo productor del sonido, se necesita un medio transmisor, que también puede ser sólido, líquido o gaseoso, generalmente el aire. En este medio se propagan las ondas producidas por el movimiento vibratorio del cuerpo.

En tercer lugar, se requiere de un receptor, pues sin éste, solo existirá movimiento vibratorio, más no sonido.

Es importante tener en cuenta que en el vacío no se propaga el sonido.

En resumen, los tres elementos necesarios para que exista el sonido son: Un elemento productor, un elemento transmisor y un elemento receptor.

Una definición técnica del sonido es: "sensación experimentada cuando llegan al oído ondas producidas por determinados movimientos vibratorios"[2].

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[1] RUMSEY, Francis y Mccormick, Tim. Introducción al sonido y la grabación. Madrid : Raycar impresores, 1996. P. 17.

[2] CALVO-MANZA, Antonio. Acústica físico-musical. Madrid : Real Musical, 1991. P. 19.

La onda longitudinal que se crea es una compresión y descompresión (dilatación) del aire. El siguiente gráfico muestra dicho proceso.

"El movimiento de cualquier punto sobre una onda transversal forma ángulos rectos con la dirección aparente del desplazamiento de la misma"[3].

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[3] RUMSEY, Francis y Mccormick, Tim. Introducción al sonido y la grabación. Madrid : Raycar impresores, 1996. P. 18.

Las características fundamentales de la onda sonora son:

Amplitud: es el grado de compresión y descompresión del aire como resultado del movimiento vibratorio. La amplitud es percibida como la intensidad del sonido, volumen o sonoridad.

Frecuencia: es la velocidad con la que oscila la fuente, y se mide en hercios (Hz) o ciclos por segundos. La fórmula para determinar la frecuencia es inversamente proporcional al período o tiempo (t), es decir: f = 1/t. La frecuencia es lo que se percibe como el tono de un sonido.

Representación gráfica de una onda senoidal en la cual se ve el período (t).

Ejemplos de oscilaciones de frecuencia de 1 y 10 Hz.

Velocidad: depende de la densidad y elasticidad del cuerpo transmisor. En el aire, la velocidad es relativamente baja con respecto a los cuerpos sólidos. La velocidad del sonido en el aire es aproximadamente de 340 metros por segundo, aunque ésta depende de la temperatura del aire. La fórmula de la velocidad es igual a lambda (longitud de onda) por la frecuencia: c = λf.

A continuación se presentan algunas velocidades dependiendo el material de propagación.

En el aire a 0°c = 331m/s. En el aire a 30°c = 348 m/s.

En el agua = 1437 m/s. En madera de roble = 1381 m/s.

En hierro = 5124 m/s. En vidrio = 5195 m/s.

Longitud de onda: es la distancia entre dos picos adyacentes de compresión o de descompresión del aire. Se representa con la letra griega lambda (λ). La fórmula de longitud de onda es la velocidad dividida por la frecuencia: λ = c/f.

Ejemplo: la longitud de onda en temperatura ambiente normal de una frecuencia de 20 Hz es:

λ = c/f → λ = 340 m/s / 20 Hz (cps) → λ = 17 metros, ya que los segundos se cancelan.

Ahora veamos una longitud de onda para una frecuencia de 20000 Hz:

λ = c/f → λ = 340 m/s / 20000 Hz (cps) → λ = 0, 017 metros que equivalen a 1,7 cm. Se puede concluir que a mayor frecuencia, menor longitud de onda y viceversa.

De acuerdo con las fórmulas anteriores, también podemos determinar la frecuencia de un sonido si conocemos la longitud de onda y la velocidad.

Si, c = λf, entonces, f = c/λ

Ejemplo, determinar la frecuencia de un sonido en temperatura ambiente normal, si la longitud de onda es 9m.

f = c/λ → f = 340 m/s / 9 m = 37,77 Hz.

Fase: se da cuando los semiciclos de compresión (positivos) y descompresión (negativos) de dos ondas con la misma frecuencia coinciden exactamente en el tiempo y en el espacio.

Ejemplo de dos ondas que se encuentran en fase. El resultado es una onda de la misma frecuencia con doble amplitud.

Contrafase: se presenta cuando un semiciclo positivo de una onda coincide con el semiciclo negativo de la otra onda. Al sumarse estas dos señales se cancelan entre sí, por tanto su resultado será ausencia de señal.

Gráfico con las regiones de percepción auditiva[4]

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[4] Audición y Frecuencia. [Online]. Citado el 9 de octubre de 2009. Disponible en Internet: http://www.insht.es/InshtWeb/Contenidos/Documentacion/TextosOnline/GuiasMonitor/CondicionesTrabajo/III/Ficheros/ctsiii05.pdf>

De acuerdo con el gráfico anterior, los infrasonidos se encuentran por debajo de los 20 Hz; los subgraves, entre los 20 Hz y los 100 Hz; los graves, entre los 100 Hz y 400 Hz; los medios, entre los 400 Hz y los 2000 Hz; los agudos entre los 2000 Hz y 20000 Hz; y los ultrasonidos están por encima de los 20000 Hz.

COMPORTAMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL SONIDO (c), LONGITUD DE ONDA (λ) Y FRECUENCIA (f)

Si la frecuencia (f) ↑ la longitud de onda (λ) ↓

Si la temperatura ↑ la velocidad (c) ↑

Si en un medio de propagación la densidad ↑ y la elasticidad ↓, la (c) ↑

Si la frecuencia (f) ↑ la velocidad (c) →

Los cuerpos y las fuentes sonoras

Los cuerpos sonoros son aquellos que vibran para producir el sonido mediante una excitación. Si las moléculas del cuerpo sonoro son desplazadas de su lugar de reposo, se producen movimientos (vibraciones) que tienden a devolver dichas moléculas a su posición inicial.

Como se dijo anteriormente, los cuerpos sonoros pueden ser sólidos, líquidos o gaseosos. Con los instrumentos musicales específicamente, los cuerpos sólidos pueden ser: cuerdas, varillas, membranas y placas; los instrumentos pertenecientes a los cuerpos gaseosos son los que usan el aire como medio de producción del sonido, es decir, los instrumentos de viento.

Las cuerdas. Acústicamente, las cuerdas son cuerpos no rígidos. El movimiento ondulatorio de la cuerda en vibración es transversal, o sea que las moléculas se desplazan de manera perpendicular al desplazamiento de la onda. Los extremos de la cuerda deben ser puntos fijos, es decir, deben estar en reposo, pues cuando las ondas lleguen a un extremo, el punto fijo funciona como elemento perturbador porque genera nuevas ondas en sentido contrario. Esto hace que cuando la cuerda vibra, circulen trenes de ondas en sentidos contrarios.

La frecuencia de un sonido producido por una cuerda depende de la longitud de la misma y de la tensión, la masa, la densidad, sección, etc. La frecuencia del sonido fundamental de la cuerda se produce con una onda estacionaria (onda en la cual hay ciertos puntos de la onda que permanecen inmóviles, denominados nodos) que tiene dos nodos en sus extremos y un vientre en el centro.

Los siguientes gráficos muestran los sonidos fundamental o primer armónico, segundo armónico y tercer armónico producidos por la vibración de una cuerda.

La longitud entre dos nodos es λ/2. Por tanto, la longitud (L) de la cuerda produciendo su sonido fundamental es igual a la longitud de la cuerda. La ecuación quedaría:

L = λ / 2

Despejando λ en esta ecuación, quedaría: λ = 2L.

Sabemos que f = c/λ; si reemplazamos λ por 2L, entonces quedaría que la frecuencia (f) de una cuerda es igual a velocidad (c) dividido por 2L, así:

f = c / 2L

Esta es la frecuencia del sonido fundamental o primer armónico de un sonido producido por una cuerda.

Entonces: f₁ = c / 2L

En el segundo armónico, la L = 2λ/2 de donde λ = 2L/2; por lo tanto, la frecuencia para el segundo armónico es:

f₂ = c/λ entonces: f₂ = c / (2L/2) = 2c / 2L

Pero como f₁ = c / 2L entonces, f₂ = 2f₁

De igual manera se pueden despejar las fórmulas para el tercer armónico, llegando a la siguiente expresión:

f₃ = 3f₁

Ejemplo: si la frecuencia de la cuerda La al aire de la guitarra es de 220 Hz, entonces hallar los armónicos 2 y 3 de la nota.

f₂ = 2f₁ entonces f₂ = 2*220 Hz = 440 Hz, que equivale al La una octava más aguda.

f₃= 3₁ entonces f₃= 3*220 Hz = 660 Hz, que equivale a un Mi más agudo que el La 440.

Las leyes[5] que rigen la vibración de las cuerdas son:

1. La frecuencia del sonido producido por un cuerda es inversamente proporcional a la longitud de la misma. Es decir, las frecuencias bajas son producidas por las cuerdas con longitud grande y las frecuencias agudas, por cuerdas de longitud corta.

2. La frecuencia del sonido producido por un cuerda es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión a la que está sometida. Es decir, a mayor tensión, más agudo es el sonido.

3. La frecuencia del sonido producido por un cuerda es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad de la misma. Esto quiere decir que las cuerdas con mayor densidad producen sonidos más graves.

4. La frecuencia del sonido producido por un cuerda es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su diámetro.

Los aerófonos. Son los instrumentos denominados tubos sonoros, los cuales contienen una columna de gas que cuando se excita produce el sonido. El cuerpo sonoro es la columna de gas y no el tubo en sí mismo, pues éste lo que hace es que define la forma de la columna.

Se clasifican en Tubos Abiertos y Tubos Cerrados. Los Abiertos son los que tienen dos o más orificios y los cerrados son los que tienen un solo orificio. La mayoría de los aerófonos están conformados por tubos abiertos. El órgano es de los pocos instrumentos que tiene tubos cerrados, al igual que la flauta de pan.

El movimiento ondulatorio de los instrumentos de viento es longitudinal, es decir que el movimiento de las partículas gaseosas va en la misma dirección que el desplazamiento de la onda. Estas ondas longitudinales se reflejan en los extremos del tubo.

En el extremo cerrado de un tubo siempre se produce un nodo. "En los extremos abiertos la reflexión que se produce es más compleja y está en función de que el tubo sea ancho o estrecho comparado con la longitud de onda de la onda que se propaga en el tubo"[6].

La embocadura de los instrumentos musicales tiene la función "comunicar el movimiento vibratorio del elemento vibrante a la referida columna"[7]. La abertura de la embocadura no puede ser un nodo puesto que no produciría sonido.

Las aberturas que se encuentran a lo largo del tubo dividen la columna gaseosa en segmentos en donde se producen las frecuencias de los respectivos sonidos.

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[5] CALVO-MANZA, Antonio. Acústica físico-musical. Madrid : Real Musical, 1991. P. 52.

[6] CALVO-MANZA, Antonio. Acústica físico-musical. Madrid : Real Musical, 1991. P. 54.

[7] Ibid., p. 54.

Frecuencias del sonido producido por los tubos abiertos.

La onda estacionaria generada en un tubo abierto tiene vientres en sus extremos, por lo tanto el sonido fundamental se produce cuando se forme un nodo en el centro del tubo. En el siguiente gráfico se muestra el ejemplo.

De acuerdo con el gráfico anterior, la longitud (L) del tubo es igual a la semilongitud de la onda, por tanto la fórmula es: L = λ / 2

Si la frecuencia del sonido fundamental o primer armónico es f₁ = c / λ

y λ es 2L, entonces f₁ = c / 2L

El segundo armónico producido por un tubo abierto contiene dos nodos, tal como lo muestra el siguiente gráfico.

Aquí la L = 2λ / 2	De donde: λ = 2L / 2
Por lo tanto: f2 = c / (2L/2) = 2c / 2L	Pero como f1 = c / 2L

Entonces: f₂ = 2f₁

El tercer armónico producido por un tubo abierto contiene tres nodos, tal como lo muestra el siguiente gráfico.

De donde L = 3λ / 2	Despejando λ = 2L / 3
Por lo tanto: f3 = c / (2L/3) = 3c / 2L	Pero como f1 = c / 2L

Entonces: f₃ = 3f₁

Como conclusión general se puede decir que f_n = nf₁

Frecuencias del sonido producido por los tubos cerrados.

En estos tubos el nodo se produce en el extremo cerrado y el vientre en el extremo abierto. El sonido fundamental de un tubo cerrado se representa así:

De donde L = λ / 4	Despejando λ = 4L
f = c / λ = c / 4L

El segundo armónico de un tubo cerrado forma dos nodos y dos vientres, tal como lo muestra la gráfica.

De donde L = λ / 2 + λ / 4 = 3λ / 4	Despejando λ = 4L/3
f2 = c / λ = c / (4L/3) = 3c / 4L
Dado que f1 = c / 4L	Entonces f2 = 3f1

El tercer armónico de un tubo cerrado forma tres nodos y tres vientres, tal como lo muestra la gráfica.

De donde L = λ / 2 + λ / 2 + λ / 4 = 5λ / 4	Despejando λ = 4L/5
f3 = c / λ = (c) / (4L/5) = 5c / 4L
Dado que f1 = c / 4L	Entonces f3 = 5f1

Se observa que los armónicos de los tubos cerrados son impares, por lo cual se deduce que:

f_n = (2n - 1)c / 4L = (2n - 1)f₁

Las leyes[8] que rigen la vibración de los tubos abiertos y cerrados son:

1. La frecuencia del sonido producido por un tubo es directamente proporcional a la velocidad de la propagación. Es decir, para producir los diferentes armónicos se requiere mayor velocidad.

2. La frecuencia del sonido producido por un tubo es inversamente proporcional a la longitud del tubo. Es decir, a mayor longitud del tubo, más grave es el sonido.

3. Si dos tubos tienen mayor longitud y uno es abierto y el otro cerrado, el abierto produce un sonido con doble frecuencia del cerrado, es decir, suena una octava más aguda que el cerrado.

4. Los tubos abiertos producen la serie completa de armónicos, mientras que los cerrados solo producen los armónicos de frecuencias impares de la fundamental.

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[8] CALVO-MANZA, Antonio. Acústica físico-musical. Madrid : Real Musical, 1991. P. 64.

Instrumentos de percusión: membranófonos y placas vibrantes (platillos, crótalos, gongs). Son cuerpos sonoros que tienen una superficie muy grande en comparación con su espesor. La vibración de estos instrumentos es mixta, es decir vibran longitudinal y transversalmente al ser excitados. Los membranófonos necesitan tensión y las placas solo necesitan un punto de apoyo.

Cuando estos instrumentos son golpeados, la onda que se forma se propaga en dos direcciones desde el punto de la perturbación y se refleja en los bordes, dando lugar a las ondas estacionarias. En estos cuerpos sonoros los nodos no son puntos sino líneas denominadas líneas nodales y los vientres son superficies llamadas superficies ventrales.

El sonido producido por estos instrumentos por sobretonos discordantes, es decir que no son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. En este caso no se denominan armónicos de la fundamental sino sobretonos.

Dentro de la clasificación de los instrumentos de percusión, se encuentran los de varillas vibrantes, es decir, los de la familia del xilófono y el vibráfono. En estos instrumentos, cuando se golpean las varillas (placas o barras) en el medio, se produce una vibración transversal, al igual que con las cuerdas, pero con la diferencia de que en los extremos de la varilla, aparecen dos nodos (uno a cada lado) a una distancia de 0,224 de Longitud (0,224L).

En el siguiente gráfico se observa el sonido producido por la fundamental de un instrumento de varilla vibrante.

De acuerdo con el gráfico anterior, la fórmula de la longitud de onda/2 (λ/2) para estos instrumentos es:

Si λ/2 = L - 2(0,224L)	Entonces, λ/2 = L - 0,448L
Si L = 1 (unidad), entonces λ/2 = 1 - 0,448L	Dando como resultado: λ/2 = 0,552L
De donde λ = 2 x 0,552L = 1,104L	La frecuencia f = c / λ. Entonces f = c / 1,104L

La relación de las frecuencias con la fundamental es:

Primer sobretono: 2,76f

Segundo sobretono: 5,4f

Tercer sobretono: 8,9f

Se concluye que los parciales producidos por estos instrumentos no son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, por lo tanto no obedecen a la ley de Fourier que dice: "Un movimiento vibratorio cualquiera, de período T y frecuencia f, es siempre expresable como una suma de movimientos armónicos simples cuyos períodos son T, T/2, T/3, T/4, etc. y frecuencias f, 2f, 3f, 4f, etc.[9]"

En la siguiente gráfica se muestra la suma de tres sonidos con movimientos armónicos simples de distintos períodos, que dan como resultado un movimiento vibratorio complejo en donde la curva es periódica no senoidal.

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[9] CALVO-MANZA, Antonio. Acústica físico-musical. Madrid : Real Musical, 1991. P. 31.

ESTIMANDO LA FRECUENCIA (Audición con CD)

Como se pudo observar en el gráfico "Audición y Frecuencia", el rango de frecuencia audible se encuentra entre los 20 Hz y los 20000 Hz, y un rango medio de audición para los seres humanos se encuentra entre los 100 Hz y 10000 Hz.

Nota: Los gráficos y los sonidos utilizados en la audición de la clase, se encuentran en el libro de F. Alton Everest denominado "Critical. The complete listening audio-visual and auditory training course perception" y en sus respectivos CD-ROM, en la lección 1. Este material está en la Biblioteca de la Universidad San Buenaventura, sede Medellín.

EXTENSIÓN DE LOS SONIDOS DEL PIANO[10]

Número de tecla	Sistema de notación musical inglesa	Frecuencia (Hz)
88	C8	4186,01
87	B7	3951,07
86	A♯7/Bb7	3729,31
85	A7	3520,00
84	G♯7/Ab7	3322,44
83	G7	3135,96
82	F♯7/Gb7	2959,96
81	F7	2793,83
80	E7	2637,02
79	D♯7/Eb7	2489,02
78	D7	2349,32
77	C♯7/Db7	2217,46
76	C7	2093,00
75	B6	1975,53
74	A♯6/Bb6	1864,66
73	A6	1760,00
72	G♯6/Ab6	1661,22
71	G6	1567,98
70	F♯6/Gb6	1479,98
69	F6	1396,91
68	E6	1318,51
67	D♯6/Eb6	1244,51
66	D6	1174,66
65	C♯6/Db6	1108,73
64	C6	1046,50
63	B5	987,767
62	A♯5/Bb5	932,328
61	A5	880,000
60	G♯5/Ab5	830,609
59	G5	783,991
58	F♯5/Gb5	739,989
57	F5	698,456
56	E5	659,255
55	D♯5/Eb5	622,254
54	D5	587,330
53	C♯5/Db5	554,365
52	C5	523,251
51	B4	493,883
50	A♯4/Bb4	466,164
49	A4 (La 440)	440,000
48	G♯4/Ab4	415,305
47	G4	391,995
46	F♯4/Gb4	369,994
45	F4	349,228
44	E4	329,628
43	D♯4/Eb4	311,127
42	D4	293,665
41	C♯4/Db4	277,183
40	C4 (Do central)	261,626
39	B3	246,942
38	A♯3/Bb3	233,082
37	A3	220,000
36	G♯3/Ab3	207,652
35	G3	195,998
34	F♯3/Gb3	184,997
33	F3	174,614
32	E3	164,814
31	D♯3/Eb3	155,563
30	D3	146,832
29	C♯3/Db3	138,591
28	C3	130,813
27	B2	123,471
26	A♯2/Bb2	116,541
25	A2	110,000
24	G♯2/Ab2	103,826
23	G2	97,9989
22	F♯2/Gb2	92,4986
21	F2	87,3071
20	E2	82,4069
19	D♯2/Eb2	77,7817
18	D2	73,4162
17	C♯2/Db2	69,2957
16	C2	65,4064
15	B1	61,7354
14	A♯1/Bb1	58,2705
13	A1	55,0000
12	G♯1/Ab1	51,9130
11	G1	48,9995
10	F♯1/Gb1	46,2493
9	F1	43,6536
8	E1	41,2035
7	D♯1/Eb1	38,8909
6	D1	36,7081
5	C♯1/Db1	34,6479
4	C1	32,7032
3	B0	30,8677
2	A♯0/Bb0	29,1353
1	A0	27,5000

[10] Frecuencias de afinación del piano. [Online]. Citado el 12 de octubre de 2009. Disponible en Internet: http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencias_de_afinación_del_piano>

Gráfico[11] de frecuencias de algunos instrumentos musicales de acuerdo con en el sistema temperado.

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[11] CALVO-MANZA, Antonio. Acústica físico-musical. Madrid : Real Musical, 1991. P. 172.

Ejercicios

1. En temperatura ambiente de 22° C, cuya velocidad es de 345 m/s, hallar las longitudes de onda de las siguientes frecuencias.

a. 20 Hz b. 50 Hz c. 100 Hz d. 110 Hz

e. 130,813 Hz f. 261,626 Hz g. 440 Hz h. 659,255 Hz

i. 1174,66 Hz j. 1567,98 Hz k. 2349,32 Hz l. 3951,07 Hz

2. Hallar la frecuencia correspondiente a las siguientes longitudes de onda.

a. 12,5454 m b. 7,46 m c. 4,19 m d. 78,40 cm

e. 16,48 cm f. 9,8 cm g. 3,45 m h. 11,5 cm

i. 6,9 cm j. 3,35 cm k. 2,3 cm l. 1,725 cm

3. Hallar la frecuencia de los 5 primeros armónicos de un sonido producido por un instrumento de cuerda cuya frecuencia de la fundamental es:

a. 329,628 Hz b. 246,942 Hz c. 195,998 Hz d. 146,832 Hz

e. 110 Hz f. 82,4069 Hz

4. Hallar la frecuencia de los 5 primeros armónicos de un sonido producido por un tubo cerrado cuya frecuencia de la fundamental es:

a. 261,63 Hz b. 253,25 Hz c. 146,83 Hz d. 32,70 Hz

e. 98 Hz f. 220 Hz g. 16,35 Hz h. 12543,85 Hz